Czy zamieszczone na portalu zdanie jest poptawne gramatycznie?

Jest poprawne, bo w pytaniach z czasownikiem posiłkowym do i does, tylko te czasowniki dopasowują się do osoby, reszta to forma podstawowa.

He has two children.
Does he have two children?

They have plenty of time.
Do they have plenty of time?

Dokładnie tak jak napisał Tommy: jeśli w zdaniu występuje operator, to czasownik pozostaje w formie podstawowej. Oto przykłady z operatorem does, czyli dla 3 osoby w czasie Present Simple:

She usually drinks coffee in the morning.
Does she usually drink coffee in the morning?
She doesn't drink coffee in the morning.

My mum works in a bank.
Where does your mum work?
My mum doesn't work at school, she works in a bank.

Emma gets up at 7 o'clock.
What time does Emma get up?
She doesn't get up at 7 o'clock.

Ja mam troszkę inne pytanie:
Czy :"Does he have two children?" oraz "Has he got two children?" znaczy to samo?

Tak, pierwsze jest zgodne z amerykańską odmianą angielszczyzny, a drugie z brytyjską.