Jaki czas należy zastosować kontekście "She's applied/been applying for a new job. I think the interview for it is next week"?

Present Perfect.

Przede wszystkim 'apply for a job' nie oznacza 'starać się o pracę', tylko 'aplikować', 'złożyć podanie'.
to apply - to make an appeal or request especially in a form of a written application (f.e. apply for a job).
W przypadku, który opisałeś jest to czynność jednorazowa i nie może być PPC. A to, że proces aplikacji się jeszcze nie skończył, nie ma nic do rzeczy, bo chodzi o to, co ona zrobiła, to znaczy złożyła pisemną aplikację a nie składa pisemną aplikację cały czas od np. tygodnia. Można użyć PPC, ale w trochę innym kontekście: "She has been applying for various jobs recently, but didn't get any". (Ostatnio złożyła wiele aplikacji, ale nie dostała żadnej pracy). Można to przetłumaczyć jako "ostatnio starała się o pracę", ale trzeba pamiętać, że to wielokrotnie powtarzana czynność w ostatnim czasie a nie szukanie pracy, które jest procesem i może być spokojnie użyte w PPC ("I have been looking for a job for half a year now").