Dlaczego jest "he's just come from school"

On właśnie przyszedł w tym momencie, czyli nie czas przeszły.
W tym przypadku He's = he has. Czyli mamy czas present perfect (czasem tłumaczony jako teraźniejszy dokonany) typowy do zastosowań w podobnych sytuacjach.

Dlatego iż w tym zdaniu użyto czasu Present Perfect a czas ten wymaga użycia czasownika w tzw. Past Participle. Past Participle dla czasownika 'come' to 'come':
pierwotna forma : come
past tense : came
past participle : come

Pozdrawiam.

Jest to czas Present Perfect, w tym czasie konstrukcja jest następująca:

I/you/we/they + have
he/she/it + has + czasownik w formie przeszłej z końcówką -ed

(jeśli nieregularny to patrz na wyjątki w list irregular verbs - kolumna trzecia), stąd czasownik come.

Czasownik came należy do czasu Past Simple i w zdaniu twierdzącym nie posiada operatora have, stąd powyższe zdanie, o które pytasz, jest poprawne.