Z czego wynika brak przedimków w dwóch przykładowych zdaniach?

Generalnie zależy to od tego czy rzeczownik jest policzalny [countable] czy niepoliczalny [uncountable]. Najgorzej jest z rzeczownikami, które są zarówno policzalne jak i nie policzalne. Wówczas zależy do od tego czy mamy na myśli rzecz ogólną (np tea) czy tą konkretną (cup of tea - domyślnie a tea). Takim rzeczownikiem jest właśnie hospital. W tym zdaniu "on jest teraz w szpitalu". W jakimś tam szpitalu [uncountable]. W lecznicy. W placówce w której leczą go. Nie jest określone, że jest on w konkretnym budynku szpitalnym np. w naszej dzielnicy czy przy ulicy takiej a takiej czy też w miejskim szpitalu ortopedycznym.
Natomiast co do clipboard to jest tu wg mnie błąd. Powinno być z a lub the.

Gdy używamy "hospital" bez przedimka określonego, mamy na myśli, że ktoś znajduje się tam jako pacjent. Bardziej chodzi tutaj o stan, niż o miejsce. Gdyby ktoś jednak zostawił swój płaszcz w poczekalni szpitala powiedzielibyśmy "I left my coat in THE hospital.". Tak przynajmniej robi się w British English. Słowniki podają jednak, że Amerykanie używają przedimka w obu wypadkach.

Co do clipboard: tutaj rzeczywiście bardziej pasuje "the clipboard", zdanie zostało zmodyfikowane.