w pierwszym zadaniu program uznaje z prawidłowe " give up" natomiast give down uznaje za błąd. Czy słusznie?

Czasowników złożonych musimy nauczyć się na pamięć, bo mają niezmienną formę.

"Give up" znaczy "poddawać się".

"Give down" nie istnieje ;)

Inne z give to np:
"give up something" - przestać coś robić
"give sth out" - rozdawać coś
"give in to sb/sth" - poddawać się komuś/czemuś
"give back" - oddawać
itd.

Z "down" łączysz np. "break down", "get down", "go down" itd. - tego trzeba nauczyć się na pamięć.