dlaczego napisane jest would spend zamiast spent

To zdanie tak naprawdę trochę coś innego znaczy. Prawidłowe tłumaczenie tego zdania to raczej:

"W 2000 roku przyjechałam do Warszawy, w której miałam spędzić osiem kolejnych lat mojego życia."

Gdyby chciano powiedzieć to zdanie z końcówką "w której spędziłam kolejnych 8 lat mojego życia" ja bym użyła raczej:

"where I spent eight years of my life."

"would spend" odnosi się raczej do przyszłości która miała nastąpić, a nie do przeszłości, stąd "spend" zamiast "spent"

Konstrukcja "would spend" w tym kontekście służy do odniesienia się do wydarzeń przyszłych, które miały się zdarzyć w przeszłości. Spójrzmy jak to zdanie mogłoby wyglądać w czasie teraźniejszym:

It is 2000. I arrive in Warsaw where I will spend eight years of my life. = Jest rok 2000. Przyjeżdzam do Warszawy, gdzie spędzę osiem lat mojego życia.

Odnosząc się do tych wydarzeń w przeszłości musimy się "cofnąć", a wówczas "will" (które nawiązuje do przyszłości) zamienia się w "would".

In 2000 I arrived in Warsaw where I would spend eight years of my life. = W 2000 roku przyjechałem do Warszawy gdzie miałem spędzić osiem lat swojego życia.

Więcej na ten temat znajdziesz w poniższej notatce gramatycznej:
https://www.etutor.pl/lessons/en/c1/50/1/17604

W razie dalszych wątpliwości pytaj śmiało ;-)