"Everybody thinks I'm a liar" - czy to zdanie jest poprawne?

Tak, jest poprawne. I chyba się domyślam, co Cię w nim dziwi.

Zaimki nieokreślone, składające się z every-, some-, any-, no- i -body, -one, wymagają od czasownika formy 3 os. l. poj., nawet jeśli oznaczają więcej osób, np. wszyscy.

Everybody thinks I'm a liar.
Everybody is singing now.
Everybody in his class has got very short hair.

Za to, jeśli są zastępowane zaimkiem osobowym lub pojawia się odnoszący się do nich zaimek/przymiotnik dzierżawczy, to będzie to liczba mnoga: "they", "them", "their"...

Everybody thinks I'm a liar, don't they?
Everybody is singing their favourite song.

P.S. Choć oczywiście w wielu sytuacjach formy "they", "them", "their" można też zastąpić wyrażeniem "he or she" czy "his or her".