Czy moge zastosować tu - by the lake-?

Jak najbardziej - nawet będzie lepiej brzmiało. Zamiast "a" możesz użyć "the", jeśli wynika z kontekstu, że chodzi o konkretny dom :)

Zgadzam się z Iguana246, brzmi lepiej z "by the lake"
Jednak chyba warto się zastanowić, co tak naprawdę chcesz przekazać rozmówcy;
I tak;

We've got a summer house by the lake.
(Mamy letni domek nad jeziorem)
Mamy domek, gdzieś nad jeziorem, najprawdopodobniej w uroczej turystycznej miejscowości. Domek może znajdować się zaraz przy jeziorze, ale również może znajdować się w dosyć sporej odległości. Ważne, że jest nad jeziorem. To mniej więcej tak, jak z naszym "Mam domek NAD morzem"

We've got a summer house beside the lake.
(Mamy letni domek obok jeziora)
Tutaj już wyraźniej zaznaczamy, że jezioro znajduje się w bliskiej odległości od domku.
To mniej więcej tak, jak z naszym "Mam domek ZARAZ PRZY morzu"
pozdr.