Dlaczego have przy he? He doesn't have his keys.

Dlatego, że masz tam doesn't. "does" "neutralizuje" czasownik i wtedy musi on wystąpić w bezokoliczniku, czyli przy innych czasownikach znika "s" z końca czasownika, a z "has" robi się "have". Inny przykład
He MAKES his bed
He doesn't MAKE his bed
(znika "s" z końca czasownika "Makes")
Taka sama sytuacja jest w pytaniach w czasie present simple. Gdy masz w pytaniu "does" to czasownik występuje w bezokoliczniku

Do i don't znosi zasadę stosowania w 3 osobie has.

W zdaniu raz zaznaczasz że jest to 3 osoba, podobnie jak raz zaznaczasz np. że jest jakieś przeczenie.

W zdaniu He doesn't have his keys jest have bo zaznaczyłeś już 3 os. poprzez doesn't (zamiast don't).

Podobnie jest z przeczniami. Nie napiszesz There isn't nothing - czyli dwa przecznia, tylko there is nothing, albo there isn't anything. To taka analogia do Twojego problemu.

Najłatwiej się uczyć poprzez takie analogie.

ponieważ does not czyli w skrócie doesn't bierze na siebie cały ciężar czasu teraźniejszego present simple w przeczeniach dlatego po does not i don't podobnie jak w pytaniach mamy bezokolicznik