Dlaczego tylko drugie zdanie jest prawidłowe?

Bo prefer fukcjonuje z czasownikiem i rzeczownikiem tymczasem rather tylko z czasownikiem.
Przejrzałam opracowanie etutor na ten temat i nie jest to powiedziane wprost ale można z opisu i zastosowań prefer i rather tak wywnioskować. I tak:
Konstrukcji would prefer użyć możemy zarówno w połączeniu z czasownikiem - "woleć coś zrobić", jak i w połączeniu z rzeczownikiem - "woleć coś"
I would prefer to play tennis tomorrow. = Wolałbym grać w tenisa jutro.
I would prefer juice. = Wolałbym sok.
Natomiast konstrukcja zdań z rather jest tylko z użyciem infinitiv i nie ma połączeń z rzeczownikiem w sensie woleć coś.
She would rather eat dinner now.
He would rather read a book.
pozdrawiam

Ponieważ "rather" jest przysłówkiem, znaczy "raczej", nie czasownikiem, jak "prefer". Zdanie wymaga czasownika - wolałby, więc "He would prefer a single room" jest poprawne, natomiast w zdaniu "He would rather.... a single room" brakuje czasownika. Konstrukcję "I would rather", "I'd rather" tłumaczy się jako "Wolałbym..." ale trzeba pamiętać, że to jest
would rather + verb (infinitive) - np. I'd rather go home.
would rather + noun + verb (past) - np. I'd rather you didn't smoke.