Czy można napisać: "he is became nicer and nicer" ?

Należy tu użyć czasu Present Continuous:
He is becoming nicer and nicer.
ale jeszcze lepiej użyć w tym znaczeniu czasownika "get":
He's getting nicer and nicer.

W obu wariantach pamiętaj o dodaniu końcówki "-ing" do czasownika.

PS. Samo: He's getting nicer (bez powtórzonego "and nicer") też ujdzie.

Dokładnie tak jak pisze askawska - tu musimy zastosować czas present continuous, czyli po "be" w odpowiedniej osobie stawiamy czasownik z -ing. Proszę zwrócić uwagę - zdanie to mówi nam o tym, co się dzieje, opisuje pewien trwający proces - on - staje się - nie jest, nie będzie, ale staje się.